Markdown Formula

本文梳理了 Markdown 插入数学公式。

标识#

Inline math: $...$ , will be rendered inline.
Display (block) math: $$...$$, will be rendered in block.

在MathJax中，默认的displayed公式分隔符有 $$...$$ 和 \[...\] ，而默认的inline公式分隔符为 $...$，当然这些都是可以自定义的，具体配置请参考文档。在本文中，使用 $$...$$ 作为displayed分隔符， $...$ 作为inline分隔符。

需要注意的是，CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则无法正常渲染。

在 vscode markdown preview enhanced 插件和 jupyter notebook markdwn cell 中，行内数学公式的美元符号前后有空格也能正常渲染。

Inline math equations are wrapped in single dollar signs.
- For example, $x^2$ becomes $x^2$.
- Pythagorean Theorem: $a^2 + b^2 = c^2$ : $a^2 + b^2 = c^2$.
- Einstein's Theory of Special Relativity: e=mc^2: $e=mc^2$.
KaTeX blocks begin and end with two dollar signs:
- % comment 为注释行，不会被渲染展示。
- 行末插入 \\ 或 \cr 换行。

$$
% Pythagorean Theorem
a^2 + b^2 = c^2 \\

% Einstein's Theory of Special Relativity
e=mc^2
$$

\[ % % Pythagorean Theorem a^2 + b^2 = c^2 \\ % Einstein's Theory of Special Relativity e=mc^2 \]

Environments#

环境变量的起始标记为 \begin{ENV} ，结束标记为 \end{ENV}。

常用的环境变量包括以下：

公式/等式#

单行等式：equation，不支持 \\ 换行。需内嵌 split 分行，相当于 $$ ... $$ 加 \\ 换行，但 equation 指定的公式组会添加（一个）自动编号。
对齐等式：align（aligned,alignat,alignedat），默认右对齐，可使用 & 指定对齐点（位置）；gather（gathered），默认居中对齐，不支持指定对齐点。
- align、gather 会自动给每一行编号，end 后可追加 \tag{N}，忽略自动行编号，指定公式组编号。
条件等式：cases（rcases），不会自动添加编号，支持使用 & 指定对齐点。

数组/矩阵#

数组/行：array，begin前面可添加 \def\arraystretch{LINE-SPACE} 前缀指定行间距。
矩阵：matrix，支持 pmatrix、bmatrix、Bmatrix、vmatrix、Vmatrix 等扩展标记。

格式控制#

align、alignat、gather 只能用于 Display 块模式（ $$...$$ ），Inline 行内模式（ $...$ ）得使用 aligned、alignedat、gathered 。
- To input a numerical LPP, use alignat instead of align to get better alignment between signs, variables and coefficients.
对于公式 equation、align、alignat、gather 自动编号，可在 ENV 名称添加 * 忽略自动编号，例如 equation*、align*、gather*。
- 也可以通过显式指定 \nonumber 或 \notag 来忽略（某一行）自动编号。
ENV块结尾添加 \tag 标签支持进行序号标记或文字注释，将替换覆盖自动（行）编号。注意：行内公式不支持该标签！
- align, alignat, gather 支持为每一行自定义 \tag。

空格#

CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则不能正常渲染。

单个美元符号和双美元符号跨行公式块中的键盘空格将被忽略，如果想在公式中插入空格，需采用特殊符号。

无空格 $a b$ ：$ab$
小空格，符号\,，$a\,b$
中空格，符号 \:，$a\:b$
大空格，符号 \，$a\ b$
四空格 $a \quad b$ ：$a \quad b$
八空格 $a \qquad b$ ：$a \qquad b$

边界#

点积符号为 \cdot，a和b的点积写成 $a\cdotb$ 将报错，因为反斜杠后面都将视作符号而解析失败。
此时，可在点积符号结束处插入空格 $a\cdot b$ ：$a\cdot b$。

另外一种思路是，将反斜杠符号整体加上大括号 $a{\cdot}b$ 则可正确解析为 $a{\cdot}b$（貌似更紧凑）。

如果要用多个字母作为上、下标（^、_），则可用大括号将多个字母括起来作为一个整体脚标使用。

修饰#

\boxed{...} 支持将公式添加边框： $\boxed{e^{i\pi}+1=0}$ （$\boxed{e^{i\pi}+1=0}$）。
\color{color} formulae 支持指定后续公式的颜色： $\color{blue} F=ma$ （$\color{blue} F=ma$）。
\textcolor{color} {formula} 支持指定后续大括号内的公式文本颜色： $\textcolor{blue}{F=ma}$ （$\textcolor{blue}{F=ma}$）。
\colorbox{color} {formula} 支持为后续大括号内的公式添加背景颜色： $\colorbox{yellow}{F=ma}$ （$\colorbox{yellow}{F=ma}$）。

括号#

使用原始的小括号 ( ) 、中括号 [ ] 得到的大小是固定的。
由于大括号 {} 被用于分组，因此可以使用 \lbrace 和 \rbrace 来表示。
使用 \left( 或 \right) 可使括号大小与包裹其中的公式列高自动适应（适用于所有括号类型）。

标记	含义	示例
竖线	$\vert$ 、 $\mid$	$a \vert b$、$a \mid b$
闭合单竖线	$\lvert abs \rvert$	$\lvert abs \rvert$
闭合双竖线	$\lVert v \rVert$	$\lVert v \rVert$
尖括号	$\lang \rang$ 或 $\langle \rangle$	$\lang a \vert b \rang$ 或 $\langle a \mid b \rangle$
大括号	$\lbrace \rbrace$	$\lbrace 1,2,3,4,\ldots \rbrace$

点号#

符号	意义	示例
`\cdot` / `\sdot` / `\cdotp`	中点	$\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
`\ldots` / `\dotsc` / `\dotso` / `\mathellipsis`	底端对齐的省略号	$1,2,\ldots,n$
`\cdots` / `\dots` / `\dotsb` / `\dotsi` / `\dotsm`	中线对齐的省略号	$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$
`\vdots`	竖直对齐的省略号	$\vdots$
`\ddots`	斜对齐(左上右下)的省略号	$\ddots$

$$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$$

\[f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2\]

下文中多元一次方程组的系数矩阵，即综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。

脚标#

对数： $\log_xy$ （$\log_xy$）、 $\log_216 = 4$ （$\log_216=4$）
多项式中x的幂： $x^2$ （$x^2$）、 $x^{10}$ （$x^{10}$）、 $E=mc^2$ （$E=mc^2$）
下标序号： $x_i$ （$x_i$）、 $x_{i+1}$ （$x_{i+1}$）、 $x_{ij}$ （$x_{ij}$）
同时存在上下标，先写上标（ $x^2_i$ ）或先写下标（ $x_i^2$ ），结果都为 $x_i^2$。

排列组合数可以写为 $C{^k_n}$ （$C{^k_n}$）或 $C{k \atop n}$ （$C{k \atop n}$）
inner product: $\lt x \vert y \gt = x^Ty$ （$\lt x \vert y \gt = x^Ty$）
outer product: $\lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T$ （$\lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T$）
圆面积： $S=\pi{r^2}$ （$S=\pi{r^2}$）；圆球面积： $S=4πr^2$ （$S=4πr^2$）；圆球体积： $V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3}$ （$V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3}$）。
欧拉公式： $e^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\theta$ （$e^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\theta$）、 $e^{i\pi}+1=0$ （$e^{i\pi}+1=0$）。

注意：若要用多个字母作为脚标，则需要用大括号将多个字母括起来作为整体脚标。

如果不加大括号，则符号（^、_）只会将紧邻其后第一个字母视作脚标，后续字母将渲染为普通字母： $x^10$ （$x^10$）、 $x_ij$ （$x_ij$）。

分数#

$\frac md$ 表示分式 $\frac md$，第一个字母是分子，第二个字母是分母。

用大括号将复合分子、分母括起来：\frac{5}{3\times{5}}：$\frac{5}{3\times{5}}$

也可使用大括号内的 \over 实现： ${a+1 \over b+1}$ ：${a+1 \over b+1}$

分数幂及等效的开方表示： $x^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x}$ （$x^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x}$）

组合数： ${n+1 \choose 2k}$ 或 $\binom{n+1}{2k}$ ：$C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

TeX expr: $C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

极限#

$\lim_{x\to 0}lnx$ 显示为 $\lim_{x\to 0}lnx$。

自然底数 e 的定义式：$e = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^n$

TeX expr: $e = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^n$

假设增长率为虚数是否成立：$e^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^n$ ？

TeX expr: $e^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^n$

希腊字母#

小写希腊字母：例如 $\gamma$ 显示为 $\gamma$， $\phi$ （$\phi$）。
大写希腊字母：首字母大写，例如 $\Gamma$ 显示为 $\Gamma$， $\Phi$ （$\Phi$）。
斜体希腊字母：加上 var 前缀，例如 $\varGamma$ ，显示为 $\varGamma$， $\varphi$ （$\varphi$）。

参考希腊字母读音和数学符号及读法大全。

顶部符号#

顶部点： $\dot x$ : $\dot x$
顶部两点： $\ddot x$ : $\ddot x$
顶部竖点： $\dot {\dot x}$ : $\dot {\dot x}$
顶部横线 $\overline x$ : $\overline x$；底部下划线 $\underline{x}$ ：$\underline{x}$
用 \vec{a} 表示矢量 a： $\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ：$\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
用 \overrightarrow{a} 长箭头表示向量： $\overrightarrow{AB}$ ：$\overrightarrow{AB}$
用 \hat x 表示尖帽： $\hat y=a\hat x+b$ ：$\hat y=a\hat x+b$
多字符可以使用 $\widehat {xy}$ ：$\widehat {xy}$
采用多个等号连接，用 \! 减小其间距直至间隙消失，实现长等号（long equal）：A =\!=\!= B：$A =\!=\!= B$。
在上下编辑内容可以使用 overset/underset 或 overunderset：
- 上下分布：X\overset{a}{\underset{b}{\to}}Y / X\overunderset{a}{b}{\to}Y: $X\overset{a}{\underset{b}{\to}}Y$
- 长等号上面写字（extpfeil - \xlongequal{n=8}）：(2^{n-1}-1)-\lvert X \rvert \overset{\text{n=8}}{=\!=\!=} 127-\lvert -89 \rvert: $(2^{n-1}-1)-\lvert X \rvert \overset{\text{n=8}}{=\!=\!=} 127-\lvert -89 \rvert$

向量夹角#

下面这段文字阐述了基于向量点积和模推导出向量夹角的过程，其中包括：

希腊字母：\theta（θ）、\beta（β）、\alpha（α）
正余弦三角函数符号：\cos、\sin
向量的模：双竖线 {\lVert}v{\rVert}
分式：\frac{m}{d}

向量 $v$ 和向量 $w$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$

对于二维向量，设向量 $v$ 与 x 轴的夹角为 $\beta$，向量 $w$ 与 x 轴的夹角为 $\alpha$。  
同方向上的单位向量 $u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta)$, $u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha)$  
由余弦差角公式：$\cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$

向量 $v$ 和向量 $w$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$

对于二维向量，设向量 $v$ 与 x 轴的夹角为 $\beta$，向量 $w$ 与 x 轴的夹角为 $\alpha$。
同方向上的单位向量 $u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta)$, $u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha)$
由余弦差角公式：$\cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$

线性矩阵#

{matrix} 标识无边框矩阵的开始和结束，每一行以 \\ 结尾，行间元素以 & 分隔。

行内矩阵：$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}$

TeX expr: $\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}$

跨行矩阵：

$$
  \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix} \tag{无边框矩阵}
$$

\[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \tag{无边框矩阵} \]

当数字宽度不一致时，列向默认是居中对齐，也可在 matrix后面加 *，再用中括号指定列对齐方式（[l]、[c]、[r]）。

$$
  \begin{matrix*}[l]
   1 & 20 & 300 \\
   40 & 500 & 60 \\
   700 & 8 & 9
  \end{matrix*}
  \tag{列左对齐}
$$

\[ \begin{matrix*}[l] 1 & 20 & 300 \\ 40 & 500 & 60 \\ 700 & 8 & 9 \end{matrix*} \tag{列左对齐} \]

边框矩阵#

教科书上一般习惯书写带有边框的矩阵。

中括号块：\left[、\right]

$$
  \left[
  \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix}
  \right]
  \tag{中括号矩阵}
$$

\[ \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \tag{中括号矩阵} \]

大括号块：\left{、\right}

$$
  \left\{
  \begin{matrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
  \end{matrix}
  \right\}
  \tag{大括号矩阵}
$$

\[ \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right\} \tag{大括号矩阵} \]

扩展标记#

也可用下列词替换 matrix：

标记	含义	示意	示例
`pmatrix`	小括号边框	()	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
`bmatrix`	中括号边框	[]	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
`Bmatrix`	大括号边框	{}	$\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Bmatrix}$
`vmatrix`	单竖线边框	\|\|	$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$
`Vmatrix`	双竖线边框	‖‖	$\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix}$

数组阵列#

需要借助以 {array} 起始和结束的阵列标识。

对齐方式：在 {array} 后的 {} 中逐列统一声明
左对齐：l；居中：c；右对齐：r
竖直线：在声明对齐方式时，| 表示在列之间插入竖直线
插入水平线：\hline

示例1：增广矩阵（enlarged, Augmented）

cc|c 表示三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割。

$$
\left[
\begin{array}  {c c | c} %三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割
1 & 2 & 3 \\ % 换行
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
$$

\[ \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ % 换行 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \]

示例2：简易表格1

$$
\begin{array}{c|lll}
{↓}&{a}&{b}&{c}\\
\hline
{R_1}&{d}&{e}&{f}\\
{R_2}&{h}&{i}&{j}\\
\end{array}
$$

\[ \begin{array}{c|lll} {↓}&{a}&{b}&{c}\\ \hline {R_1}&{d}&{e}&{f}\\ {R_2}&{h}&{i}&{j}\\ \end{array} \]

示例3：简易表格2

c|lcr表示第一列居中对齐，然后插入竖线，后面三列分别左、中、右对齐。

$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\
2 & -1 & 189 & -8 \\
3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$

\[ \begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array} \]

示例4：虚线分割

将分隔符从竖线（|）换成冒号（:），则纵向分割线变成虚线；
横向分割线 \hline 为实线，\hdashline 为虚线。
开头的 \def\arraystretch{1.5} 指定行间距。

$$
\def\arraystretch{1.5}
   \begin{array}{c:c:c}
   a & b & c \\ \hline
   d & e & f \\
   \hdashline
   g & h & i
\end{array}
$$

\[ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} a & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hdashline g & h & i \end{array} \]

示例5：矩阵分块

shape 为 (2,2,4) 和 (2,4,2) 的3D矩阵，可以用2D数组表示，将纵深第三维用分块示意。

$x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc:cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $x_{ij}$ 代表第三维长度为4的向量。

$y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc:cc:cc:cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $y_{ij}$ 代表第三维长度为2的向量。

$x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc:cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $x_{ij}$ 代表第三维长度为4的向量。

$y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc:cc:cc:cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $y_{ij}$ 代表第三维长度为2的向量。

3D数组（矩阵）$z_{333}$ 的shape为(3,3,3)，用2D数组示意如下（分块为第三维平铺），这样方便看出其对角线矩阵。

$ z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc:ccc:ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right] $，diag = $ \begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix} $

$z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc:ccc:ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hdashline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hdashline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right]$，diag = $\begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix}$

线性方程组#

这里借助左大括号块和 {array} 分组表达式来书写方程组：

$$
\left \{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ 
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ 
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$

\[ \left \{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right. \]

线性方程组对应的矩阵表达式（Matrix equation）： $Ax = b$

二元一次方程组#

二元一次方程组：$\left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right.$

TeX expr： $\left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right.$

向量线性组合的形式如下（column picture）：

$x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

$x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$

系数矩阵（Coefficient matrix）$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$，结果矩阵 $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$。

注意：这里的 b 需要表示成标准的2D column vector。

使用 numpy.linalg 包的 solve 函数 x = np.linalg.solve(A,b) 即可求解出 $x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$。

三元一次方程组#

以 {cases} 标识书写方程组（&= 设置 = 对齐）：

$$
\begin{cases}
2x+1y+(-2)z &= -3\\
3x+0y+1z &= 5\\
1x+1y+(-1)z &= -2\\
\end{cases}
$$

\[ \begin{cases} 2x+1y+(-2)z &=-3 \\ 3x+0y+1z &=5 \\ 1x+1y+(-1)z &= -2\\ \end{cases} \]

也可使用 alignat 实现变量对齐（*忽略自动编号）书写方程组：

$$
\left\{
\begin{alignat*}{3.5}
2&x+&1&y+&(-2)&z = &-3 \\
3&x+&0&y+&1&z = &5 \\
1&x+&1&y+&(-1)&z = &-2
\end{alignat*} 
\right.
$$

\[ \left\{ \begin{alignat*}{3.5} 2&x+&1&y+&(-2)&z = &-3 \\ 3&x+&0&y+&1&z = &5 \\ 1&x+&1&y+&(-1)&z = &-2 \end{alignat*} \right. \]

向量线性组合的形式如下（column picture）：

$x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

$x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$

系数矩阵（Coefficient matrix）$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$，结果矩阵 $b = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$。

条件表达式#

在定义分段函数时，经常需要分情况给出表达式，此时可使用 \begin{cases}…\end{cases}。

使用 & 指示需要对齐的位置。

以下定义了分段函数：

$$
% abs
f(x)=
\begin{cases}
        -x, & x<0 \\
        x, & x \ge 0
\end{cases}
$$

$$
% i^n
f(n) = 
\begin{cases}
1, &n=4k, k\in\mathbb{Z} \\
i, &n=4k+1, k\in\mathbb{Z} \\
-1, &n=4k+2, k\in\Bbb{Z} \\
-i, &n=4k+3, k\in\Bbb{Z}
\end{cases}
$$

\[ % abs f(x)= \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} \]

\[ % i^n f(n) = \begin{cases} 1, &n=4k, \forall k\in\mathbb{Z} \\ i, &n=4k+1, \forall k\in\mathbb{Z} \\ -1, &n=4k+2, \forall k\in\Bbb{Z} \\ -i, &n=4k+3, \forall k\in\Bbb{Z} \end{cases} \]

也可基于分段表达式撰写方程组：

$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\
\qquad \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\
\end{cases}
$$

\[ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\ \qquad \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\ \end{cases} \]

系数矩阵（Coefficient matrix）表示如下，综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。

$$
\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix}
\right]
$$

\[ \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right] \]

查看公式TeX命令#

right-click on the expression and choose Show Math As > TeX Commands to inspect the MathJax Equation/Original Source. When you do this, the math delimiters($ and $$) will not display.

在 stackexchage 网页右键查看数学公式原始KaTeX指令：

stackexchage-ipynb-Show_Math_As-TeX_Commands

在 CSDN 博客右键查看数学公式原始KaTeX指令：

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在 github 在线渲染的ipynb右键查看数学公式原始KaTeX指令：

github-ipynb-Show_Math_As-TeX_Commands

cheatsheet#

KaTeX supported functions/symbols: sorted by type, sorted alphabetically.

refs#

vscode-markdown-math

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标记	含义	示例
竖线	$\vert$ 、 $\mid$	\(a \vert b\)、\(a \mid b\)
闭合单竖线	$\lvert abs \rvert$	\(\lvert abs \rvert\)
闭合双竖线	$\lVert v \rVert$	\(\lVert v \rVert\)
尖括号	$\lang \rang$ 或 $\langle \rangle$	\(\lang a \vert b \rang\) 或 \(\langle a \mid b \rangle\)
大括号	$\lbrace \rbrace$	\(\lbrace 1,2,3,4,\ldots \rbrace\)

符号	意义	示例
`\cdot` / `\sdot` / `\cdotp`	中点	\(\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}\)
`\ldots` / `\dotsc` / `\dotso` / `\mathellipsis`	底端对齐的省略号	\(1,2,\ldots,n\)
`\cdots` / `\dots` / `\dotsb` / `\dotsi` / `\dotsm`	中线对齐的省略号	\(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\)
`\vdots`	竖直对齐的省略号	\(\vdots\)
`\ddots`	斜对齐(左上右下)的省略号	\(\ddots\)

标记	含义	示意	示例
`pmatrix`	小括号边框	()	\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)
`bmatrix`	中括号边框	[]	\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)
`Bmatrix`	大括号边框	{}	\(\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Bmatrix}\)
`vmatrix`	单竖线边框	\|\|	\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\)
`Vmatrix`	双竖线边框	‖‖	\(\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix}\)